Das Gebäude der ehemaligen Landwirtschaftskammer Rheinland, jetzt das Mathematikzentrum der Universität Bonn. Aufnahme von 2009.
Exponatreihe »Ist der Zufall fair?«
Visualisierung von Stochastik im Jahr der Mathematik 2008
In meiner Diplomarbeit habe ich mich mit einigen Möglichkeiten beschäftigt, Stochastik zu visualisieren. Konkret ging es darum, geeignete Inhalte aus demjenigen Gebiet der Mathematik, das sich mit den Gesetzmäßigkeiten zufälliger Ereignisse beschäftigt, zu bestimmmen und anschließend anschaulich und dennoch im notwendigem Umfang mathematisch präzise und korrekt darzustellen.
Hierzu zählt insbesondere die Erstellung von Exponaten, die im Rahmen des Mathematikjahres beim HCM-Schülertag am 16. Mai, beim »Wissenschaftssommer« in Leipzig (28.06.-04.07.08) sowie im »Wissenschaftszelt Mathematik« (02.07.-05.07.2008) in Bonn präsentiert wurden. Diese umfassen zwei »faire Spiele« sowie eine Computersimulation, deren Funktionsweise durch ein weiteres Exponat erklärt wird.
Informationsstand zu den Exponaten, 2009.
Exponatreihe I: Faire Spiele
Menschen spielen von Natur aus gerne - aber sie verlieren schnell die Lust daran, wenn sie das Gefühl haben, unfair behandelt zu werden. Aber was ist ein faires Spiel?
Mathematisch könnten wir Fairness dadurch beschreiben, dass der erwartete mittlere Gewinn mit dem erwarteten Verlust übereinstimmt. Ein Spiel, bei dem der erwartete Gewinn höher als der erwartete Verlust ist, wäre superfair.
In diesem Exponat wird ein superfaires Spiel vorgestellt, bei dem der Spieler trotzdem über längere Zeit immer sein gesamtes Kapital verliert. In einem Würfelspiel sind Sie aufgefordert, einen angemessenen (fairen?) Einsatz zu ermitteln und eine Strategie zu finden, die Ihren Gewinn maximiert.
Auch bei der mathematischen Analyse ganz anderer Vorgänge, wie zum Beispiel dem Wachstum von Tierpopulationen, in genetischen Modellen, bei der Untersuchung bestimmter Algorithmen und natürlich in der Finanzmathematik werden Modelle eingesetzt, die auf der mathematischen Abstraktion eines fairen bzw. superfairen Spiels basieren.
In einem abgeschlossenen Ökosystem gibt es im einfachsten Fall eine Raubtierart und eine Beutetierart. Je mehr Beutetiere vorhanden sind, desto mehr Räuber finden Nahrung, also nimmt die Population der Räuber bei steigender Anzahl der Beutetiere zu. Dadurch wiederum sinkt die Anzahl der Beutetiere und damit zeitversetzt auch die der Räuber aufgrund des geringeren Nahrungsangebots. Somit bleiben unter geeigneten Voraussetzungen die Populationen der Räuber und Beutetiere meistens für einen längeren Zeitraum in einem Gleichgewicht.
Räuber-Beute-Modelle werden in der theoretischen Biologie mit dem Ziel angewendet, dynamische Eigenschaften von Räuber-Beute-Beziehungen darzustellen, etwa um artspezifische Abhängigkeiten zu erkennen. Bei diesem Exponat werden Wölfe (Raubtiere) und Schafe (Beutetiere) simuliert, wobei die Aktionen der Tiere durch einfache Regeln festgelegt werden. Die Entscheidung, welche Regel gerade angewendet wird, ist jedoch vom Zufall abhängig.
Das ursprüngliche Exponat ist in C++ mithilfe von OpenGL realisiert worden. Die Implementierung überzeugte durch eine gute Performance, allerdings war dadurch das Exponat nur auf einem Linux-System mit speziellen Paketen lauffähig.
Im April 2019 habe ich mit einem Bruchteil des ursprünglichen Aufwands eine aktualisierte Version in JavaScript realisiert, die direkt im Browser aufgerufen werden kann:
Damals™, als die Studenten noch wirklich studieren durften und den Begriff Modul zumeist nur mit einer algebraischen Struktur in Verbindung brachten, stand nach dem 4. Fachsemester die Diplom-Vorprüfung an: Vier mündliche Prüfungen, in denen der Stoff der ersten zwei Studienjahre kompakt noch einmal abgefragt wurde. Und obwohl man vor der Anmeldung schon diverse Klausuren bestanden haben musste, kam das große Verständnis meist erst bei der Vorbereitung aufs Vordiplom - bei manchen auch erst hinterher...
Zur besseren Vorbereitung auf die Prüfungen war es in den Lerngruppen und Freundeskreisen üblich, sich gegenseitig durch Weitergabe der Erfahrungen aus den eigenen Prüfungen zu unterstützen.
Diese Protokolle sind von den Prüflingen nach absolvierter Prüfung aus dem Gedächtnis verfasst worden. Daher ist bei der Verwendung davon auszugehen, dass sie unvollständig und im Zweifelsfalle fehlerhaft sein können. Etwaigen Interessenten ist der persönliche Gebrauch dieser Dateien gestattet, dies beinhaltet auch eine Weitergabe an Kommilitonen, aber keine Veröffentlichung. Insbesondere widersprechen wir jeglicher kommerziellen Nutzung!
Diese Präsentation stellt kurz eine mögliche Thematik der Diplomarbeit vor. Es werden zwei Themen behandelt: Stochastische Modellierung anhand des Beispiels der Populationsdynamik und Konstruktion räumlicher stochastischer Strukturen.
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Im ersten Teil werden ein stochastisches und ein deterministisches Modell zur Vorhersage von Populationen vorgestellt sowie auf Gemeinsamkeiten und Unterschiede hingewiesen. Anschließend wird die im Rahmen des Mathematikjahres entstandene Simulation vorgeführt.
Der zweite Teil verallgemeinert die Wiener-Levy-Konstruktion der Brownschen Bewegung auf den mehrdimensionalen Fall. Das Ergebnis, das Gaußsche Feld, ist ein interessantes Objekt mathematischer Forschung mit einigen Einsatzgebieten. Eines davon, die Bilderkennung, wird in einem kleinen Ausblick angerissen.
Im Rahmen dieses Vortrags wird die Anwendung einer Markov Chain Monte Carlo Methode zur effektiven Berechnung des Flächeninhaltes konvexer Körper im Mehrdimensionalen betrachtet.
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In diesem Vortrag stellen wir fest, dass die Varianz dieser Markovkette durch eine lokale Varianz auf einer kleinen Umgebung beschränkt ist. In der Praxis zeigt sich der Sinn dieser Betrachtungen darin, dass für die Berechnung auch hochdimensionaler Volumina polynomielle Algorithmen existieren.
Im Rahmen dieses Vortrags wird bereits im Seminar behandelte Konzept des Poissonprozesses auf den mehrdimensionalen Fall erweitert sowie einige elementare Sätze über diesen Prozess gezeigt.
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Hierbei möchte ich mittels vieler Abbildungen insbesondere das grundlegende Verständnis für die dargestellten Sachverhalte erwecken. Um einen Praxisbezug herzustellen, wird ein Algorithmus zur Simulation dieses Prozesses vorgestellt sowie einige Ergebnisse demonstriert und diskutiert.
